Jak obliczyć datę Wielkanocy – computus, algorytm Gaussa i ruchome święta

W poprzednim wpisie – o wiecznym kalendarzu – pojawił się wątek, który aż prosi się o dokończenie. Cała reforma gregoriańska z 1582 roku wzięła się z tego, że Kościołowi „uciekała” równonoc wiosenna, a od niej liczy się datę Wielkanocy. Skoro poprzednio naprawiliśmy kalendarz, policzmy teraz samą Wielkanoc.

To zadanie ma zresztą wyjątkowy rodowód: computus – bo tak przez wieki nazywano rachunek daty Wielkanocy – to prawdopodobnie najstarszy „algorytm” w historii, liczony ręcznie od starożytności, na długo zanim ktokolwiek wymyślił słowo „informatyka”. A przy okazji jest praktyczny do dziś: z daty Wielkanocy wynikają wszystkie ruchome święta, w tym dwa polskie dni wolne od pracy.

Reguła paschalna: Słońce i Księżyc naraz

Sama zasada, ustalona w tradycji soboru nicejskiego (325 r.), mieści się w jednym zdaniu:

Wielkanoc wypada w pierwszą niedzielę po pierwszej wiosennej pełni Księżyca – czyli po pierwszej pełni przypadającej 21 marca lub później.

I to właśnie dlatego jest trudna. Kalendarz gregoriański śledzi Słońce (pory roku), ale reguła paschalna miesza do tego Księżyc – a miesiąc księżycowy (~29,53 dnia) nie składa się w całe dni ani w równe miesiące. Do tego dochodzi dzień tygodnia (niedziela), czyli trzeci, niezależny cykl. Wielkanoc jest punktem przecięcia trzech zegarów naraz – i dlatego skacze po kalendarzu w zakresie aż 35 dni: od 22 marca do 25 kwietnia.

Skrajności zdarzają się rzadko. Wielkanoc 22 marca była ostatnio w 1818 roku (następna dopiero w 2285!), a 25 kwietnia – w 1943 roku. Najbliższy skrajny termin przed nami: 25 kwietnia 2038.

Cykl Metona: dlaczego 19 lat

Podstawą tablic paschalnych jest odkryty w starożytności cykl Metona: 19 lat słonecznych to niemal dokładnie 235 miesięcy księżycowych. Po 19 latach fazy Księżyca wracają więc na te same daty kalendarza – wystarczy znać pozycję roku w tym cyklu, żeby „wiedzieć”, kiedy będzie pełnia. Tę pozycję nazwano złotą liczbą: (rok mod 19) + 1.

Cykl Metona nie jest idealny (myli się o ~1 dzień na 310 lat), a reguła 4/100/400 dokłada własne przesunięcia – dlatego pełny computus gregoriański zawiera jeszcze dwie poprawki (tzw. równanie słoneczne i księżycowe), przesuwające tablice przy niektórych pełnych stuleciach. Z tego zamieszania bierze się zdumiewający fakt: o ile dni tygodnia kalendarza gregoriańskiego powtarzają się co 400 lat, o tyle pełny cykl dat Wielkanocy zamyka się dopiero po… 5 700 000 lat. W kalendarzu juliańskim, bez poprawek stuleci, wystarczały 532 lata (19 × 28) – i takim cyklem do dziś posługują się Kościoły prawosławne, dlatego prawosławna Wielkanoc zwykle wypada w innym terminie (w 2026 roku: 12 kwietnia, tydzień po zachodniej).

Algorytm Gaussa

Pierwszą zamkniętą formułę – zamiast tablic – podał w 1800 roku Carl Friedrich Gauss. Jego algorytm wyznacza najpierw d: liczbę dni od 21 marca do pełni paschalnej, a potem e: ile dni brakuje do najbliższej niedzieli. Stałe M i N kodują poprawki stulecia (dla lat 1900–2099 wynoszą M = 24, N = 5, ale liczymy je ogólnie):

from datetime import date

def easter_sunday(year: int) -> date:
    """Data Wielkanocy w kalendarzu gregoriańskim (algorytm Gaussa)."""
    a = year % 19         # pozycja w cyklu Metona
    b = year % 4
    c = year % 7
    k = year // 100
    p = (13 + 8 * k) // 25
    q = k // 4
    M = (15 - p + k - q) % 30      # poprawka księżycowa stulecia
    N = (4 + k - q) % 7            # poprawka dnia tygodnia stulecia
    d = (19 * a + M) % 30          # dni od 21 III do pełni paschalnej
    e = (2 * b + 4 * c + 6 * d + N) % 7   # dni do niedzieli
    # dwa historyczne wyjątki Gaussa:
    if d == 29 and e == 6:
        return date(year, 4, 19)
    if d == 28 and e == 6 and (11 * M + 11) % 30 < 19:
        return date(year, 4, 18)
    day = 22 + d + e               # licząc od 22 marca
    return date(year, 3, day) if day <= 31 else date(year, 4, day - 31)

easter_sunday(2026)  # date(2026, 4, 5)  – 5 kwietnia
easter_sunday(2025)  # date(2025, 4, 20)
easter_sunday(2038)  # date(2038, 4, 25) – najpóźniejszy możliwy termin

Skąd wyjątki? Reguła paschalna mówi „pierwsza niedziela po pełni”, a arytmetyka modulo 30 potrafi w rzadkich konfiguracjach wypchnąć wynik na 26 kwietnia – poza dozwolony zakres – albo dać dwie identyczne daty w jednym cyklu Metona. Tablice kościelne rozstrzygały te przypadki specjalną zasadą i Gauss musiał ją dokleić do wzoru ręcznie.

Algorytm Meeusa – bez wyjątków

W 1876 roku anonimowy czytelnik czasopisma „Nature” nadesłał wersję, która wchłania oba wyjątki w czystą arytmetykę całkowitą – dziś znana jest jako algorytm Meeusa/Jonesa/Butchera i to ją najczęściej spotkasz w bibliotekach. Wygląda jak zaklęcie, ale to dokładnie ten sam computus, tylko sprytniej upakowany (kluczem jest składnik m, który „zjada” przypadki graniczne):

function easterSunday(year) {
	const a = year % 19,
		b = Math.trunc(year / 100), c = year % 100,
		d = Math.trunc(b / 4), e = b % 4,
		f = Math.trunc((b + 8) / 25),
		g = Math.trunc((b - f + 1) / 3),
		h = (19 * a + b - d - g + 15) % 30,   // pełnia paschalna
		i = Math.trunc(c / 4), k = c % 4,
		l = (32 + 2 * e + 2 * i - h - k) % 7, // dni do niedzieli
		m = Math.trunc((a + 11 * h + 22 * l) / 451), // korekta wyjątków
		n = h + l - 7 * m + 114;
	return new Date(year, Math.trunc(n / 31) - 1, (n % 31) + 1);
}

easterSunday(2026); // 5 kwietnia 2026

Oba algorytmy dają identyczne wyniki dla każdego roku kalendarza gregoriańskiego – Gauss jest lepszy do zrozumienia dlaczego to działa, Meeus do wklejenia w produkcyjny kod.

Z jednej daty – wszystkie ruchome święta

Gdy mamy Wielkanoc, resztę ruchomych świąt dostajemy za darmo – to stałe przesunięcia:

W kodzie to jedna linijka na święto – i gotowy moduł dni wolnych, którego prędzej czy później potrzebuje każdy system urlopowy czy grafik zmian:

from datetime import timedelta

easter = easter_sunday(2026)         # 5 kwietnia
easter + timedelta(days=-46)         # Popielec – 18 lutego
easter + timedelta(days=+1)          # Poniedziałek Wielkanocny – 6 kwietnia
easter + timedelta(days=+49)         # Zielone Świątki – 24 maja
easter + timedelta(days=+60)         # Boże Ciało – 4 czerwca (zawsze czwartek)

Miła własność arytmetyki modulo 7: skoro Wielkanoc to zawsze niedziela, to Boże Ciało (+60, a 60 mod 7 = 4) wypada zawsze w czwartek, a Zielone Świątki (+49, wielokrotność 7) – zawsze w niedzielę. Kalendarz liturgiczny ma wbudowaną niezmienniczość.

Gotowe funkcje w językach

PHP – jako jedyny popularny język – ma computus wbudowany w bibliotekę standardową (rozszerzenie calendar):

<?php
echo date('d.m.Y', easter_date(2026));  // 05.04.2026
echo easter_days(2026);                 // 15 – dni po 21 marca
// data bez ograniczeń easter_date():
$easter = (new DateTime('2026-03-21'))->modify('+' . easter_days(2026) . ' days');

Uwaga na pułapkę: easter_date() zwraca uniksowy timestamp, więc działa tylko dla lat 1970–2037 (poza zakresem PHP 8 rzuca ValueError). Bezpieczniejsze jest easter_days() – zwraca liczbę dni po 21 marca i nie ma żadnych ograniczeń zakresu.

W Pythonie computus mieszka w praktycznie wszechobecnym pakiecie python-dateutil – z bonusem w postaci wszystkich trzech wariantów obrządku:

from dateutil.easter import easter, EASTER_ORTHODOX

easter(2026)                    # datetime.date(2026, 4, 5)
easter(2026, EASTER_ORTHODOX)   # datetime.date(2026, 4, 12) – prawosławna

JavaScript, Java i C# wbudowanego computusu nie mają – i to dobra okazja, żeby wkleić własnego Meeusa z tego wpisu albo sięgnąć po bibliotekę świąt (w ekosystemie każdego z tych języków istnieją gotowe pakiety „holidays”).

Podsumowanie

• Reguła paschalna – „pierwsza niedziela po pierwszej wiosennej pełni” – splata trzy niezależne cykle: słoneczny, księżycowy i tygodniowy; stąd rozrzut dat od 22 marca do 25 kwietnia.
• Computus liczy pełnię kościelną (tablicową), nie astronomiczną – dlatego w ogóle da się go zapisać algorytmem.
• Fundament to cykl Metona (19 lat ≈ 235 miesięcy księżycowych) plus gregoriańskie poprawki stuleci; pełny cykl dat Wielkanocy to aż 5,7 mln lat.
• Gauss (1800) dał pierwszy wzór (z dwoma wyjątkami), anonimowy algorytm Meeusa (1876) – wersję bez wyjątków, używaną w bibliotekach do dziś.
• Z jednej daty wynikają wszystkie ruchome święta – od Popielca (−46) po Boże Ciało (+60, zawsze czwartek).
• W PHP computus jest wbudowany (easter_date/easter_days – z pułapką zakresu 1970–2037), w Pythonie masz dateutil.easter; w JS/Javie/C# – piszesz Meeusa sam.

Skąd wzięły się reguła 4/100/400, wycinane dni i sam kształt naszego kalendarza – o tym w poprzednim wpisie: wieczny kalendarz.